233,евклид

Царские пути

Одна из самых известных легенд о Евклиде дошла до нас со слов самого Архимеда. Тот поведал, что однажды сам царь Птолемей решил начать изучать геометрию по «Началам» Евклида. Однако наука показалась царской особе весьма трудной и никак не давалась. И тогда Птолемей поинтересовался, нет ли способа как-нибудь попроще и побыстрее все освоить… На что Евклид произнес сегодня уже ставшую крылатой фразу: «В геометрии нет царских путей».

Что такое «евклидова геометрия»?

Свои знания в планиметрии и стереометрии гениальный мыслитель формулировал в виде аксиом и постулатов. Система аксиом касалась четырёх понятий: точки, прямой, плоскости, движения, а также взаимоотношения этих понятий между собой.

Для построения конкретных фигур на плоскости или в пространстве он разработал систему постулатов, предписывающих конкретные действия. Подобная система аксиом и постулатов в современности получила название «евклидова геометрия».

Откуда и когда

Примечательно, что доподлинно не известно, когда именно и в каком месте родился Евклид. По скудным записям из арабских книг 12-го века можно судить, что отца его звали Наукрат, а сам будущий великий математик родился в Греции.

Предполагается, что свое образование он начал получать Академии Платона, при входе в которую, кстати, была надпись: «Никогда не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

Впрочем, и обстоятельства и даже точная дата смерти Евклида также покрыты тайной: предполагается, что это печальное событие произошло не позднее 265 года до нашей эры.

Это интересно: Биография и факты: Интересные факты о Сальвадоре Дали

Интересные факты из жизни

Несколько любопытных фактов из биографии Евклида:

  1. Самый древний известный математический трактат принадлежит Евклиду.
  2. До сих пор нет данных о месте рождения и смерти великого ученого. Однако известно место занятий Евклида примерно 2400 лет назад и место его нахождения Александрия. Интересно, что этот городок сегодня второй по размерам в Египте после Каира,
  3. Евклид смог создать 4 книжки по коническому виду сечений.
  4. Фундаментальный труд «Начала» считается настолько важным для науки, что до сих пор его используют в жизни. Интересно, что есть другие публикации с подобным наименованием, но самый популярный труд Евклида».
  5. С самой юности Евклид обучался у именитого ученого Платона, обучавшего Аристотеля в Древней Греции. Сам же Платон обучался у Сократа.
  6. По традиции геометрия сегодня носит название этого ученого.
  7. Есть легенда, что когда один раз ученик величайшего математика спросил у него, как геометрия может помочь ему в жизни, то Евклид дал ему денег и прогнал с занятий.
  8. Евклид до сих пор считается автором многочисленных книг, чье авторство не было подтверждено. Это разные труды, к примеру, публикации по музыке, философии и медицине. Официально известно, что великий ученый сделал открытие в оптических и астрономических областях.
  9. Сегодня признают римановскую, лобачевскую и евклидову геометрию. Последняя самая традиционная и часто используемая.
  10. В первый раз евклидовский труд перевели в конце восемнадцатого века. При этом «Начала» впервые были переведены на армянский язык в одиннадцатом веке.
  11. Любимая фраза: «Нет царского пути в геометрии».

В целом, Евклид является отцом геометрии, и он не случайно так называется. Он первым сделал сложное понятным и дал толчок развитию естественных наук. Его книги неоценимы по значимости и применяются сегодня в области математических и геометрических наук во всем мире.

Главный труд Евклида

Главным трудом ученого является письменный памятник «Начала». Это книга, написанная примерно в 300 году до нашей эры и посвященная систематическому виду построений в геометрии.

Это вершина античной геометрии с античной математикой, в целом, которая позволила сделать дальнейшие исследования и открытия в области математики. Сборник «Начала» стоит по значимости на одном уровне с трудом Автолика.

Интересно, что труды ученого известны лишь по упоминаниям. Трактат «Начала» сильно повлиял на математическое развитие. Книгу перевели на сотни мировых языков и до сих пор используют при обучении. По своей значимости в момент издания она стояла на одном уровне с Библией.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция (⋅,⋅),{\displaystyle (\cdot ,\cdot ),} обладающая следующими тремя свойствами:

  • Билинейность: для любых векторов u,v,w{\displaystyle \mathbf {u,v,w} } и для любых вещественных чисел a,b{\displaystyle a,b} справедливы соотношения (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w){\displaystyle (a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)} } и (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);{\displaystyle (\mathbf {u} ,a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,v)} +b\mathbf {(u,w)} ;}
  • Симметричность: для любых векторов u,v{\displaystyle u,v} верно равенство (u,v)=(v,u);{\displaystyle \mathbf {(u,v)=(v,u)} ;}
  • Положительная определённость: (u,u)⩾{\displaystyle \mathbf {(u,u)} \geqslant 0} для любого u,{\displaystyle u,} причём (u,u)=⇒u={\displaystyle \mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.}

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство Rn,{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел (x1,x2,…,xn),{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),} скалярное произведение где определяется формулой (x,y)=∑i=1nxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn.{\displaystyle \mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора u{\displaystyle u} определяется как (u,u){\displaystyle {\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}} и обозначается |u|.{\displaystyle |\mathbf {u} |.} Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что |au|=|a||u|,{\displaystyle |a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами x{\displaystyle \mathbf {x} } и y{\displaystyle \mathbf {y} } определяется как arccos⁡(x,y)|x||y|.{\displaystyle \arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевыеортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом π2,{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},} то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от (x,y)|x||y|{\displaystyle \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} } был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство |(x,y)|x||y||⩽1.{\displaystyle \left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: |u+v|⩽|u|+|v|.{\displaystyle \mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .} Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d(x,y),{\displaystyle d\mathbf {(x,y)} ,} или |x−y|,{\displaystyle \mathbf {|x-y|} ,} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x{\displaystyle \mathbf {x} } и y{\displaystyle \mathbf {y} } координатного пространства Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d(x,y)=‖x−y‖=∑i=1n(xi−yi)2.{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор v{\displaystyle \mathbf {v} }, переводящий точку p{\displaystyle \mathbf {p} } в точку p+v{\displaystyle \mathbf {p+v} }. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию QTQ=E{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=E}, где QT{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}} — транспонированная матрица, а E{\displaystyle E} — единичная матрица.

Евклидова и неевклидова геометрия

Кроме того, термин евклидова геометрия служит противопоставлением неевклидовой геометрии .

Толчок был дан рассмотрением постулата параллелей . После столетий безуспешных попыток проследить этот пятый постулат Евклида до более простого, венгр Янош Бойяи и русский Николай Иванович Лобачевский пришли к выводу около 1830 года, что отрицание этого пятого постулата привело бы к логическим противоречиям, если бы это было проще. заявления могут быть возвращены. Таким образом, два математика отвергли этот постулат и каждый определили свои собственные (замещающие) постулаты, которые, вопреки ожиданиям, привели к логически совершенно безупречной геометрической системе — неевклидовой геометрии: «Не доказательство так тревожило, но скорее, его рациональный побочный продукт, который уже вскоре затмил его и почти все в математике: математика, краеугольный камень научной достоверности, внезапно стала неопределенной. Теперь мы столкнулись с двумя противоречащими друг другу представлениями о нерушимой научной истине », что привело к глубокому кризису в науке (Pirsig, 1973).

Точная формулировка «гиперболической» аксиомы, которая в геометрии Лобачевского, гиперболической геометрии , заменяет аксиому параллелей, такова: «… как минимум две прямые проходят через точку, не лежащую на прямой. линии, которые находятся в одной плоскости и не разрезают их … «

Неевклидовы геометрии и реальность

Могут ли неевклидовы геометрии (есть разные) описывать реальное пространство, ответят по-разному. В основном они понимаются как чисто абстрактные математические теории, которые заслуживают названия «геометрия» только из-за схожести терминов и систем аксиом.

Между тем, однако, эти теории оказались очень важными в теоретической физике для описания реальности нашей Вселенной .

Обобщения

Если вы рассматриваете матрицу с действительными или комплексными элементами как соответственно длинный вектор, евклидова норма также может быть определена для матриц и тогда называется нормой Фробениуса . Евклидова норма также может быть обобщена на бесконечномерные векторные пространства над действительными или комплексными числами, а затем частично имеет свои собственные имена. Наиболее важные обобщения заключаются в следующем.

ℓ 2 стандартных

является обобщением евклидовой нормы в пространстве последовательностей квадратично суммируемых последовательностей . Вот только конечная сумма заменяется на Бесконечного и 2 норма затем дается как
ℓ2{\ displaystyle \ ell ^ {2}} (ап)п∈KN{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n} \ in {\ mathbb {K}} ^ {\ mathbb {N}}}

‖(ап)‖ℓ2знак равно(∑пзнак равно1∞|ап|2)12{\ displaystyle \ | (a_ {n}) \ | _ {\ ell ^ {2}} = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} \ справа) ^ {1/2}}.

Пространство является гильбертово пространство со скалярным произведением двух последовательностей
ℓ2{\ displaystyle \ ell ^ {2}}

⟨(ап),(бп)⟩ℓ2знак равно∑пзнак равно1∞ап¯⋅бп{\ displaystyle \ left \ langle \, (a_ {n}), (b_ {n}) \, \ right \ rangle _ {\ ell ^ {2}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } {\ overline {a_ {n}}} \ cdot b_ {n}}.

L 2 стандарт

Кроме того, евклидова норма может быть обобщена на функциональное пространство функций, интегрируемых на множестве квадратично , что происходит в два этапа. Во-первых, -норма является квадратичной интегрируемой по Лебегу функцией при
Л.2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)} Ω{\ displaystyle \ Omega}Л.2{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2}}жΩ→K{\ Displaystyle f \ двоеточие \ Omega \ rightarrow {\ mathbb {K}}}

‖ж‖Л.2(Ω)знак равно(∫Ω|ж(Икс)|2dИкс)12{\ Displaystyle \ | е \ | _ {{\ mathcal {L}} ^ {2} (\ Omega)} = \ left (\ int _ {\ Omega} | е (х) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {1/2}},

определяется, в результате чего по сравнению с ℓ 2 нормы только сумма была заменена интегралом. Изначально это только полунорма , поскольку не только нулевая функция, но и все функции, которые отличаются от нулевой функции только в терминах набора с нулевой мерой Лебега, интегрируются в ноль

Поэтому, принимая во внимание количество классов эквивалентности функций , которые почти везде одинаковы, и получает на этом L -пространстве L нормы по
ж∈Л.2(Ω){\ Displaystyle \ в L ^ {2} (\ Omega)}

‖ж‖Л.2(Ω)знак равно‖ж‖Л.2(Ω){\ Displaystyle \ | \, \, \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} = \ | е \ | _ {{\ mathcal {L}} ^ {2} (\ Omega)} }.

Пространство представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением двух функций
Л.2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}

⟨ж,г⟩Л.2(Ω)знак равно∫Ωж(Икс)¯⋅г(Икс)dИкс{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {L_ {2} (\ Omega)} = \ int _ {\ Omega} {\ overline {f (x)}} \ cdot g (x) \, dx}.

Его также можно обобщить с меры Лебега на общие меры .

Общие векторные пространства

В более общем смысле евклидова норма может быть определена в любых бесконечномерных векторных пространствах через связанный базис Гамеля . Если такая Хамель основа имеет , где множество индексов , то каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации с коэффициентами (здесь лишь конечное число коэффициентов могут отличаться от 0). Евклидова норма вектора тогда определяется какV{\ displaystyle V}{Икся}я∈Я.{\ displaystyle \ {x_ {i} \} _ {я \ in I}}V{\ displaystyle V}Я.{\ displaystyle I}v∈V{\ displaystyle v \ in V} vзнак равно∑я∈Я.аяИкся{\ displaystyle \ textstyle v = \ sum _ {я \ in I} a_ {i} x_ {i}}ая∈K{\ displaystyle a_ {i} \ in {\ mathbb {K}}}ая{\ displaystyle a_ {i}}

‖v‖2знак равно(∑я∈Я.|ая|2)12{\ displaystyle \ | v \ | _ {2} = \ left (\ sum _ {i \ in I} | a_ {i} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

и тем самым из скалярного произведения

⟨v,ш⟩знак равно⟨∑я∈Я.аяИкся,∑я∈Я.бяИкся⟩знак равно∑я∈Я.а¯ябя{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} x_ {i}, \ sum _ {i \ in I} b_ {i} x_ {i} \ right \ rangle: = \ sum _ {i \ in I} {\ bar {a}} _ {i} b_ {i}}

индуцированный для векторов .
v,ш∈V{\ displaystyle v, w \ in V}

Иногда норма, индуцированная произвольным скалярным произведением на вещественном пространстве скалярных произведений, также называется евклидовой нормой.

характеристики

Далее предполагается общий случай вещественных или комплексных векторов конечной размерности с или . Следующие свойства являются лишь частными случаями соответствующих свойств общих норм, индуцированных скалярным произведением .
v∈Kп{\ displaystyle v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n}}Kзнак равноР.{\ Displaystyle {\ mathbb {K}} = \ mathbb {R}}Kзнак равноС.{\ Displaystyle {\ mathbb {K}} = \ mathbb {C}}

Аксиомы нормы

Векторы в неравенстве треугольника

Евклидова норма удовлетворяет трем . определённость

‖v‖2знак равно⇒vзнак равно{\ Displaystyle \ | v \ | _ {2} = 0 \; \ Rightarrow \; v = 0}

означает, что если длина вектора равна нулю , это должен быть нулевой вектор . Абсолютная однородностьv∈Kп{\ displaystyle v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n}}

‖α⋅v‖2знак равно|α|⋅‖v‖2{\ Displaystyle \ | \ альфа \ CDOT v \ | _ {2} = | \ альфа | \ CDOT \ | v \ | _ {2}}

утверждает, что, когда компоненты вектора умножаются на число , длина вектора изменяется с величиной этого числа. Неравенство треугольника ( )
α∈K{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {K}}

‖v+ш‖2≤‖v‖2+‖ш‖2{\ Displaystyle \ | v + вес \ | _ {2} \ leq \ | v \ | _ {2} + \ | ш \ | _ {2}}

наконец, заявляет, что длина суммы двух векторов не больше суммы двух длин. Равенство применяется именно тогда, когда два вектора указывают в одном направлении. Доказательство неравенства треугольника основано на неравенстве Коши-Шварцаv,ш∈Kп{\ displaystyle v, w \ in {\ mathbb {K}} ^ {n}}

|⟨v,ш⟩|≤‖v‖2⋅‖ш‖2{\ displaystyle \ left | \ langle v, w \ rangle \ right | \ leq \ | v \ | _ {2} \ cdot \ | w \ | _ {2}}.

Сфера единства и сфера единства

Единичная сфера (синий) и открытая единичная сфера (красный) в двух измерениях

Евклидова норма является специальной р -норма для выбора и, следовательно , также называется 2-нормой. Единичная сфера евклидовой нормы, то есть множество
пзнак равно2{\ displaystyle p = 2}

{v∈Kп‖v‖2знак равно1}{\ Displaystyle \ {v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n} \ двоеточие \ | v \ | _ {2} = 1 \}}

Векторы со стандартным топливом имеют два реальных измерения в форме круга , в трех реальных измерениях форму сферической поверхности и в общих размерах форму шара . Аналогично этому называют сумму

{v∈Kп‖v‖2≤1}{\ displaystyle \ {v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n} \ двоеточие \ | v \ | _ {2} \ leq 1 \}} или же. {v∈Kп‖v‖2<1}{\ Displaystyle \ {v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n} \ двоеточие \ | v \ | _ {2} <1 \}}

замкнутая или открытая единичная сфера евклидовой нормы. Он имеет форму круглого диска в двух реальных измерениях и форму сферы в трех и более измерениях . Евклидова норма также может быть определена как функционал Минковского, используя его единичную сферу .

Уравнение параллелограмма

Основная статья : уравнение параллелограмма

Векторы в уравнении параллелограмма

Евклидова норма достаточна для всех векторов в параллелограмм уравненияv,ш∈Kп{\ displaystyle v, w \ in {\ mathbb {K}} ^ {n}}

‖v+ш‖22+‖v-ш‖22знак равно2(‖v‖22+‖ш‖22){\ Displaystyle \ | v + вес \ | _ {2} ^ {2} + \ | vw \ | _ {2} ^ {2} = 2 (\ | v \ | _ {2} ^ {2} + \ | ш \ | _ {2} ^ {2})}

и является единственной p -нормой с этим свойством, см. также теорему Жордана-фон Неймана .

Унитарная инвариантность

Евклидова норма — также как единственная p- норма — инвариантна относительно унитарных преобразований . Поэтому, если унитарная матрица (в комплексном случае) или ортогональная матрица (в реальном случае) , то применяется
U∈Kп×п{\ Displaystyle U \ in {\ mathbb {K}} ^ {п \ раз п}}

‖Uv‖2знак равно‖v‖2{\ Displaystyle \ | УФ \ | _ {2} = \ | v \ | _ {2}},

как насчет произведения

‖Uv‖22знак равно⟨Uv,Uv⟩знак равно⟨v,UЧАСUv⟩знак равно⟨v,U-1Uv⟩знак равно⟨v,v⟩знак равно‖v‖22{\ Displaystyle \ | Uv \ | _ {2} ^ {2} = \ langle Uv, Uv \ rangle = \ langle v, U ^ {H} Uv \ rangle = \ langle v, U ^ {- 1} Uv \ rangle = \ langle v, v \ rangle = \ | v \ | _ {2} ^ {2}}

следует. Евклидова норма не меняется при унитарных преобразованиях. Для вещественных векторов такими преобразованиями являются, например, вращения вектора вокруг нулевой точки . Это свойство проявляется, например, при численном решении линейных задач наименьших квадратов с использованием метода наименьших квадратов для QR-разложений .

Главный труд Евклида

Главным трудом ученого является письменный памятник «Начала». Это книга, написанная примерно в 300 году до нашей эры и посвященная систематическому виду построений в геометрии.

Это вершина античной геометрии с античной математикой, в целом, которая позволила сделать дальнейшие исследования и открытия в области математики. Сборник «Начала» стоит по значимости на одном уровне с трудом Автолика.

Интересно, что труды ученого известны лишь по упоминаниям. Трактат «Начала» сильно повлиял на математическое развитие. Книгу перевели на сотни мировых языков и до сих пор используют при обучении. По своей значимости в момент издания она стояла на одном уровне с Библией.

Связанные области

Если отказаться от 3-го и 4-го постулатов Евклида (т.е. терминов «круг» и «прямой угол») или, для более точного определения, ограничиться аксиомами Гильберта о связи и параллелях , получится аффинная геометрия . Впервые он был разработан Леонардом Эйлером . Термины «расстояние» и «угловая мера» здесь не используются, но есть отношения расстояния и параллелизм.

Если аксиому параллелей заменить условием, что две прямые, расположенные в одной плоскости, всегда должны иметь пересечение, аффинная геометрия становится проективной геометрией .

Если опустить аксиомы расположения и непрерывности, аффинная и проективная геометрии также могут состоять из конечного числа точек.

В синтетической геометрии понятие евклидовой плоскости обобщается таким образом, что именно те плоскости, чьи аффинные координаты лежат в евклидовом теле, являются евклидовыми плоскостями.

[править] «Начала»

«Начала» — это в основном систематизация ранее полученных знаний по геометрии. Работа Евклида является более общей, в результате чего было мало интереса к сохранению более ранних трудов, и теперь они почти все потеряны.

В «Началах» 13 книг:

В книгах I—IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказано множество результатов о плоских фигурах, например: «В любом треугольнике два угла, взятые вместе любым способом, меньше двух прямых» (Книга I, предложение 17) и теорема Пифагора: «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, образующей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол» (Книга I, предложение 47).

Книги V и VII—X посвящены теории чисел, где числа рассматриваются геометрически как длины отрезков прямой или площади областей. Вводятся такие понятия, как простые числа, рациональные и иррациональные числа. Доказано, что простых чисел бесконечно много.

Книги XI—XIII посвящены твердотельной геометрии. Типичный результат — это соотношение 1:3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием. Платоновы тела построены.

Аксиомы

Аксиома параллельности (Постулат 5): если две прямые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две прямые неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они простираются достаточно далеко.

Евклидова геометрия — это аксиоматическая система, в которой все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидовой геометрии эти аксиомы считались очевидными в физическом мире, так что все теоремы были одинаково верными. Однако рассуждения Евклида от предположений к заключениям остаются в силе независимо от их физической реальности.

Ближе к началу первой книги «Начал» Евклид дает пять постулатов (аксиом) для плоской геометрии, сформулированных в терминах конструкций.

Постулируем следующее:
  1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
  2. Чтобы построить (удлинить) конечную прямую линию непрерывно в прямую линию.
  3. Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием (радиусом).
  4. Что все прямые углы равны друг другу.
  5. Аксиома параллельности: если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше чем два прямых угла.

Хотя Евклид только явно утверждает существование сконструированных объектов, в его рассуждениях они неявно предполагаются уникальными.

«Начала» также включают следующие пять «общих понятий»:

  1. Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу (транзитивное свойство евклидова отношения).
  2. Если равные добавляются к равным, тогда целые равны (свойство равенства сложения).
  3. Если равные вычитаются из равных, то разности равны (свойство вычитания равенства).
  4. Совпадающие друг с другом вещи равны друг другу (рефлексивное свойство).
  5. Целое больше части.

Современные ученые согласны с тем, что постулаты Евклида не обеспечивают полного логического основания, которое Евклид требовал для своего выступления. Современные методы лечения используют более обширные и полные наборы аксиом.

Аналитическая геометрия плоскости и пространства

Основная статья : Аналитическая геометрия

В системе координат , точка может быть представлена в виде пары (в плоской геометрии) , либо как триплет из действительных чисел . Тогда прямая линия или плоскость — это набор таких пар чисел (или троек), координаты которых удовлетворяют линейному уравнению . Аналитическая геометрия плоскости действительных чисел или построенного на ней пространства действительных чисел оказывается полностью эквивалентной той, которая определена аксиоматически.
Р.2{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Р.3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Можно рассматривать аналитическую геометрию как модель аксиоматической теории. Затем он обеспечивает доказательство непротиворечивости системы аксиом (которая, однако, является непротиворечивой основой действительных чисел, которую следует принимать как должное).

Но можно также рассматривать аналитический подход как независимую (и более удобную) основу геометрии; С этой точки зрения аксиоматический подход представляет только исторический интерес. Бурбаки, например (а также Жан Дьедонне) полностью отказывается от использования оригинальных геометрических терминов и считает, что рассмотрение топологических векторных пространств завершено .

Евклид — отец геометрии

Евклид не зря считается отцом геометрии, поскольку именно он систематизировал раннее полученные знания от других известных математиков и философов прошлого и дал основы для последующего изучения математики. Он показал принцип работы плоской поверхности и 3D-геометрии.

Изучая математику наравне с последователями Платона, он упорядочил законы, сферы с конусами и другими геометрическими фигурами. Отсюда и известно понятие Евклидова математика или Евклидова геометрия.

Именно ему принадлежит основание принципов в виде аксиом, которые и сегодня преподают во всех учебных заведениях. Благодаря Евклиду появился принцип плоскости вещей и их измеримости, идеи о 13 элементах, подчеркивающих значение геометрии и использования их в быту.

Евклид был первым, кто упростил знания с помощью написанных им книг. Он первым поставил геометрию в логические рамки и сделал ее проще для исследований. Его идеи смогли пролить свет на использование геометрических данных в жизни, для решения соответствующих задач и применения конических сечений для раскрытия больших перспектив кривых с конусами, являющимися частью геометрии.

Это интересно: Биография и факты: Лидия Смирнова. Биография актрисы

Достижения Евклида

Достижения Евклида имели огромное значение для мировой истории, математики и других наук.

Он был первым, кто:

  • систематизировал известные труды предшественников в единый сборник из 13 книг,
  • создал 5 постулатов НОД и 5 аксиом в области геометрии,
  • охарактеризовал все известные геометрические фигуры, дал понятие кривым линиям, коническим сечениям и другим явлениям,
  • создал трактат по ошибкам при изучении и создании геометрических доказательств,
  • доказал практическое использовании математики при изучении звезд, небесных тел, космоса и других наук,
  • изучил свет с законами его распространения,
  • изучил зеркала и способности преломления в них световых лучей,
  • создал простейшую теорию в области музыки,
  • создал постулаты и формулы по механики и определил удельный вес тел.

Математика

Евклид отец математики. Он сформулировал теоремы по планиметрии, упростил понимание теоремы Пифагора и теоремы о сумме углов треугольника, прописал свойства правильных многоугольников и законы построения правильных пятнадцатиугольников, указал, как применима алгебры в жизни и каковы ее основные теории, вписал теорию о целом и рациональном числе, рассмотрел квадратичную иррациональность, заложил основы стереометрической науки, доказал теоремы, касающиеся площади круга с объемом шара, вывел отношение объема пирамид с конусами, призмами и цилиндрами.

Другие науки

Помимо математики, ученый работал с оптикой, астрономией, логикой и музыкой. Так, в оптике он дал сведения об оптической перспективе, зеркальных искажениях и отражениях световых лучей в зеркале.

«Начала» Евклида

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

Евклид открывает врата Сада Математики. Иллюстрация из трактата Никколо Тартальи «Новая наука»

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строятся чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Это интересно: 236,Египет в Позднее время

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.